Задание 13. Экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация)

Задание 13. Экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация) — №7241, ЕГЭ по профильной математике

Задание 13#13.6Не решено

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r$.

Ответ

Ответ10

Решение

Пусть $k$ — коэффициент роста долга за год (при ставке $r\%$ он равен $1 + \frac{r}{100}$), $S$ — сумма кредита.

Платёж $x$ при сроке в $n$ лет находится из условия $k^nS = x(k^{n-1}+\dots+k+1)$, то есть

Срок	Равенство	Сумма кредита
2 года	$k^2S = 106\,964(k+1)$	$S = \dfrac{106\,964(k+1)}{k^2}$
4 года	$k^4S = 58\,564(k^3+k^2+k+1)$	$S = \dfrac{58\,564(k+1)(k^2+1)}{k^4}$

Здесь $k^3+k^2+k+1 = (k+1)(k^2+1)$. Сумма кредита одна и та же, приравняем и сократим на $k+1$ и $k^2$:

$106\,964 = \dfrac{58\,564(k^2+1)}{k^2}$, то есть $106\,964k^2 = 58\,564k^2 + 58\,564$, откуда $k^2 = \dfrac{58\,564}{48\,400} = 1{,}21$ и $k = 1{,}1$.

Значит, ставка равна $(1{,}1 - 1)\cdot 100 = 10\%$.

Ответ: 10.

Задание 13 №7241 — ЕГЭ по профильной математике

Похожие задания