Задание 3 №612 — ЕГЭ по профильной математике

Грань $SAB$ перпендикулярна основанию, поэтому основание $H$ высоты $SH$ лежит на ребре $AB$. Двугранный угол боковой грани равен углу между её апофемой и проекцией; из прямоугольного треугольника «апофема — проекция — высота»: расстояние от $H$ до соответствующей стороны основания равно $\dfrac{h}{\operatorname{tg}60^{\circ}}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3$.

Для граней $SAD$ и $SBC$: расстояния от $H$ до $AD$ и $BC$ равны $AH=BH=2\sqrt3$, значит $AB=4\sqrt3$. Для грани $SCD$: расстояние от $H$ до $CD$ равно ширине основания: $AD=2\sqrt3$.

$S_{\text{осн}}=4\sqrt3\cdot2\sqrt3=24$; $V=\dfrac13\cdot24\cdot6=48$.

Ответ: 48.