Задание 1 №306 — ЕГЭ по профильной математике

Апофема (радиус вписанной окружности) правильного шестиугольника: $r=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Вывод: апофема = высота равностороннего треугольника со стороной $a$ (одна из 6 частей). По теореме Пифагора $h=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Из $r=\dfrac{a\sqrt3}{2}$: $a=\dfrac{2r}{\sqrt3}$.

Подстановка $r=10\sqrt3$: $a=\dfrac{2\cdot 10\sqrt3}{\sqrt3}=20$.

Ответ: 20.