Решите неравенство $\frac{\log_5(5^x - 2 \cdot 5^{-x} - 6) + 2x}{x + 1} \ge 1$
Решение
ОДЗ:
$5^x-2\cdot5^{-x}-6>0$. Замена $t=5^x>0$:
$t-\dfrac2t-6>0$
$t^2-6t-2>0$ (умножили на $t>0$)
$t>3+\sqrt{11}$ (корень $3-\sqrt{11}<0$ не подходит), то есть $x>\log_5(3+\sqrt{11})$.
Переносим единицу влево и используем $2x=\log_5(5^{2x})=\log_5(t^2)$:
$\log_5(t-\frac2t-6)+\log_5(t^2)-1\ge0$ после деления на $(x+1)$... точнее:
$\log_5\!\left(t\left(t-\dfrac2t-6\right)\right)-1=\log_5(t^2-6t-2)-\log_55=\log_5\dfrac{t^2-6t-2}5$.
Заметим, что на ОДЗ $x+1>0$ всегда (так как $x>\log_5(3+\sqrt{11})\approx1{,}16>-1$), поэтому знак всей дроби совпадает со знаком числителя $\log_5\dfrac{t^2-6t-2}5$.
$\log_5\dfrac{t^2-6t-2}5\ge0$
$t^2-6t-2\ge5$
$t^2-6t-7\ge0$
$(t-7)(t+1)\ge0$
$t\ge7$ (так как $t>0$).
$5^x\ge7$
$x\ge\log_57$; так как $7>3+\sqrt{11}$, это условие сильнее ОДЗ и включает его.
Ответ: $x\in[\log_57;+\infty)$.