ОДЗ:
$x\ge0$ (из $\sqrt x$; тогда $\sqrt{x+4}$ определён всегда). Заметим $\sqrt{x+4}>\sqrt x$ всегда (так как $x+4>x$), поэтому знаменатель $\sqrt x-\sqrt{x+4}$ строго отрицателен на всей ОДЗ и никогда не обращается в $0$.
Замена $t=\left(\sqrt3\right)^{x^2+x}=3^{\frac{x^2+x}2}>0$: тогда $3^{x^2+x}=t^2$, и числитель равен $t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$.
Так как знаменатель всегда отрицателен, дробь $\le0$ равносильна числитель $\ge0$:
$(t-1)(t-3)\ge0$
$t\le1$ или $t\ge3$.
$t\le1$
$\dfrac{x^2+x}2\le0$
$x^2+x\le0$
$x(x+1)\le0$
$-1\le x\le0$; с учётом ОДЗ $x\ge0$ — только $x=0$.
$t\ge3$
$\dfrac{x^2+x}2\ge1$
$x^2+x-2\ge0$
$(x+2)(x-1)\ge0$
$x\le-2$ или $x\ge1$; с учётом ОДЗ — $x\ge1$.
Ответ: $x\in\{0\}\cup[1;+\infty)$.