Решите неравенство $\frac{x^2 - 1{,}5x - 1}{\log_{\sqrt{2}}|x|} < 0$
Самопроверка
Решение
ОДЗ:
$x\neq0$ (основание $\sqrt2$ фиксировано, поэтому единственное условие — положительность аргумента $|x|$).
Числитель $x^2-1{,}5x-1=(x-2)(x+0{,}5)$. Знак знаменателя $\log_{\sqrt2}|x|$: положителен при $|x|>1$, отрицателен при $0<|x|<1$, равен $0$ при $|x|=1$ (эти точки исключаем).
При $|x|>1$ (то есть $x>1$ или $x<-1$) нужен отрицательный числитель:
$(x-2)(x+0{,}5)<0$
$-0{,}5<x<2$; пересекая, получаем $1<x<2$ (ветвь $x<-1$ не пересекается с $(-0{,}5;2)$).
При $0<|x|<1$ (то есть $-1<x<1$, $x\neq0$) нужен положительный числитель:
$x<-0{,}5$ или $x>2$; пересекая, получаем $-1<x<-0{,}5$.
Ответ: $x\in(-1;-0{,}5)\cup(1;2)$.