Обозначим $t=2x^2+\dfrac{19}{8}x-\dfrac18$, $u=3x^2+\dfrac18x-\dfrac{19}{8}$. Неравенство $|t|\ge u$ равносильно $t\ge u$ или $t\le-u$ (это верно при любом знаке $u$: если $u\le0$, условие выполняется автоматически, а формула его не нарушает).
$t-u=-x^2+\dfrac{9}{4}x+\dfrac94$, поэтому
$t\ge u$
$x^2-\dfrac94x-\dfrac94\le0$
$4x^2-9x-9\le0$.
$D=81+144=225=15^2$; $x=\dfrac{9\pm15}{8}$: корни $x=3$ и $x=-\dfrac34$. Значит $t\ge u$
$-\dfrac34\le x\le3$.
$t+u=5x^2+\dfrac54x-\dfrac54$, поэтому
$t\le-u$
$x^2+\dfrac14x-\dfrac14\le0$
$2x^2+x-1\le0$ (умножили на $2$).
$D=1+8=9$; $x=\dfrac{-1\pm3}{4}$: корни $x=\dfrac12$ и $x=-1$. Значит $t\le-u$
$-1\le x\le\dfrac12$.
Объединение $\left[-\dfrac34;3\right]\cup\left[-1;\dfrac12\right]=[-1;3]$ (второй отрезок расширяет первый влево, а первый — вправо).
Ответ: $x\in[-1;3]$.