Решите неравенство $\frac{\log_x(x - 3)}{\log_{x^2}(5 - x) - 1} \ge 0$
Решение
ОДЗ:
$x>0$, $x\neq1$ (основание $\log_x$), $x-3>0$, $5-x>0$ — вместе $3<x<5$ (точка, где $\log_{x^2}(5-x)=1$, равна $\frac{-1+\sqrt{21}}2\approx1{,}79$ и не попадает в этот промежуток, поэтому знаменатель нигде здесь не обращается в $0$).
Рационализация числителя:
$\log_x(x-3)$ имеет тот же знак, что и $(x-1)(x-4)$; на ОДЗ $x>3$, поэтому $x-1>0$ всегда, и знак числителя совпадает со знаком $(x-4)$.
Рационализация знаменателя:
$\log_{x^2}(5-x)-1$ имеет тот же знак, что и $(x^2-1)\big[(5-x)-x^2\big]$; на ОДЗ $x^2-1>0$ (так как $x>3$), а $5-x-x^2=-(x^2+x-5)<0$ при $x\ge3$ (подстановка $x=3$ даёт $-7<0$, и выражение убывает дальше). Значит знаменатель всегда отрицателен на ОДЗ.
Дробь $\ge0$, когда числитель и знаменатель одного знака (или числитель $=0$); знаменатель всегда отрицателен, значит нужно, чтобы числитель был $\le0$:
$(x-4)\le0$
$x\le4$.
Пересекаем с ОДЗ $3<x<5$.
Ответ: $x\in(3;4]$.