Решите неравенство $\log_{\frac{25 - x^2}{16}}\frac{24 + 2x - x^2}{14} > 1$
Решение
ОДЗ:
$\dfrac{25-x^2}{16}>0$, $\neq1$ (то есть $-5<x<5$, $x\neq\pm3$), $\dfrac{24+2x-x^2}{14}>0$ (то есть $-4<x<6$). Пересечение:
$-4<x<5$, $x\neq\pm3$.
Рационализация ($\log_hf-1\to(h-1)(f-h)$):
$\left(\dfrac{25-x^2}{16}-1\right)\left(\dfrac{24+2x-x^2}{14}-\dfrac{25-x^2}{16}\right)>0$.
$\dfrac{25-x^2}{16}-1=\dfrac{9-x^2}{16}=\dfrac{-(x-3)(x+3)}{16}$; общий знаменатель $112$ для второй скобки:
$\dfrac{8(24+2x-x^2)-7(25-x^2)}{112}=\dfrac{-x^2+16x+17}{112}=\dfrac{-(x-17)(x+1)}{112}$.
Произведение:
$\dfrac{(x-3)(x+3)(x-17)(x+1)}{16\cdot112}>0$
$(x-3)(x+3)(x-17)(x+1)>0$.
На ОДЗ ($-4<x<5$) множитель $(x-17)$ всегда отрицателен, поэтому неравенство равносильно $(x-3)(x+3)(x+1)<0$ (знак сменился).
- + - +
◂───────○─────────○────────○──────▸
-3 -1 3 Нужен знак «$-$» (неравенство строгое):
$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;3)$.
Пересекаем с ОДЗ ($-4<x<5$, $x\neq\pm3$).
Ответ: $x\in(-4;-3)\cup(-1;3)$.