ОДЗ:
$5-x>0$, $5-x\neq1$, $\dfrac{x+2}{(x-5)^4}>0$, то есть $x<5$, $x\neq4$, $x>-2$.
Рационализация ($\log_hf-(-4)\to(h-1)(f-h^{-4})$):
$(5-x-1)\left[\dfrac{x+2}{(x-5)^4}-\dfrac1{(x-5)^4}\right]\ge0$
$(4-x)\cdot\dfrac{x+1}{(x-5)^4}\ge0$.
Знаменатель $(x-5)^4>0$ на ОДЗ, поэтому знак определяется числителем:
$(4-x)(x+1)\ge0$
$-1\le x\le4$.
Пересекаем с ОДЗ ($-2<x<5$, $x\neq4$): получаем $-1\le x<4$.
Ответ: $x\in[-1;4)$.