Решите неравенство $\log_{8x^2 - 23x + 15}(2x - 2) \le 0$
Решение
ОДЗ:
$8x^2-23x+15>0$ (корни $1$ и $1{,}875$, значит $x<1$ или $x>1{,}875$), $8x^2-23x+15\neq1$ (корни этого уравнения $0{,}875$ и $2$), $2x-2>0$ ($x>1$). Пересекая:
$x>1{,}875$, $x\neq2$.
Рационализация:
$(8x^2-23x+15-1)\big[(2x-2)-1\big]\le0$
$(8x^2-23x+14)(2x-3)\le0$.
$8x^2-23x+14=(8x-7)(x-2)$. Неравенство:
$(8x-7)(x-2)(2x-3)\le0$.
На ОДЗ ($x>1{,}875$) множитель $8x-7$ всегда положителен ($x>1{,}875>0{,}875$). Остаётся знак $(x-2)(2x-3)$: на $(1{,}875;2)$ оба множителя отрицательны (произведение положительно, деление на положительный $(8x-7)$ даёт положительное произведение целиком — не подходит для $\le0$)... уточним прямой проверкой: при $x=1{,}9$:
$(8x-7)=8{,}2>0$, $(x-2)=-0{,}1<0$, $(2x-3)=0{,}8>0$ — произведение отрицательно, подходит. При $x=3$: всё положительно — не подходит (при $x>2$ произведение положительно).
Ответ: $x\in(1{,}875;2)$.