Задание 16 №2281 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ (метод рационализации требует определённости всех логарифмов):

$x+3>0$, $x+3\neq1$, $2x+7>0$, то есть $x>-3$, $x\neq-2$.

Метод рационализации:

$\log_{x+3}(2x+7)$ заменяется на выражение того же знака $(x+3-1)\big[(2x+7)-1\big]=(x+2)(2x+6)=2(x+2)(x+3)$.

Неравенство $x\cdot\log_{x+3}(2x+7)\ge0$ равносильно на ОДЗ:

$x(x+2)(x+3)\ge0$ (множитель $2$ не влияет на знак).

  -         +         -       +  
◂───────●─────────●────────●──────▸
       -3        -2        0      

Решение:

$x\in[-3;-2]\cup[0;+\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x>-3$, $x\neq-2$).

Ответ: $x\in(-3;-2)\cup[0;+\infty)$.