Решите неравенство $\log_{x^2 + 1}(x - 3)^2 \cdot \log_{x^2 + 1}\frac{(x - 3)^2}{(x^2 + 1)^3} \le -2$
Решение
ОДЗ:
$x^2+1\neq1$
$x\neq0$ (аргументы $(x-3)^2$ и $\frac{(x-3)^2}{(x^2+1)^3}$ положительны при $x\neq3$; вместе — $x\neq0,3$).
Основание $x^2+1>1$ при любом $x\neq0$. Обозначим $t=\log_{x^2+1}(x-3)^2=2\log_{x^2+1}|x-3|$; тогда $\log_{x^2+1}\dfrac{(x-3)^2}{(x^2+1)^3}=t-3$.
Неравенство
$t(t-3)\le-2$
$t^2-3t+2\le0$
$(t-1)(t-2)\le0$
$1\le t\le2$.
$1\le2\log_{x^2+1}|x-3|\le2$
$0{,}5\le\log_{x^2+1}|x-3|\le1$; основание $>1$, значит $\sqrt{x^2+1}\le|x-3|\le x^2+1$.
Левое неравенство (обе части неотрицательны, возводим в квадрат):
$x^2+1\le(x-3)^2$
$x^2+1\le x^2-6x+9$
$6x\le8$
$x\le\dfrac43$.
Правое неравенство:
$(x-3)^2\le(x^2+1)^2$
$(x^2+1)^2-(x-3)^2\ge0$
$\big[(x^2+1)-(x-3)\big]\big[(x^2+1)+(x-3)\big]\ge0$
$(x^2-x+4)(x^2+x-2)\ge0$
первый множитель всегда положителен (дискриминант отрицателен), значит нужно
$x^2+x-2\ge0$
$(x+2)(x-1)\ge0$
$x\le-2$ или $x\ge1$.
Пересечение двух условий ($x\le\frac43$) и ($x\le-2$ или $x\ge1$):
$x\le-2$ или $1\le x\le\dfrac43$. Точки $x=0,3$ сюда не попадают.
Ответ: $x\in(-\infty;-2]\cup\left[1;\dfrac43\right]$.