Решите неравенство $\log_x\left(\log_9(3^x - 9)\right) < 1$
Самопроверка
Решение
ОДЗ:
$3^x-9>0$
$x>2$; аргумент внешнего логарифма
$\log_9(3^x-9)>0$
$3^x-9>1$
$3^x>10$
$x>\log_310$; основание $x>0$, $x\neq1$ — всё это обеспечивается условием $x>\log_310$ (так как $\log_310\approx2{,}1>1$).
На ОДЗ основание $x>\log_310>1$, значит неравенство равносильно $\log_9(3^x-9)<x$, что (основание $9>1$) равносильно $3^x-9<9^x$.
$9^x-3^x+9=3^x(3^x-1)+9$. При $x>\log_310$ имеем $3^x>10>1$, поэтому $3^x(3^x-1)>0$, и вся сумма заведомо больше $9>0$ — неравенство выполняется на всей ОДЗ без дополнительных ограничений.
Ответ: $x\in(\log_310;+\infty)$.