ОДЗ:
$15x-18-2x^2>0$
$2x^2-15x+18<0$
$(2x-3)(x-6)<0$
$1{,}5<x<6$
(это же обеспечивает $|x|=x>0$, $x\neq1$).
На всей ОДЗ основание $|x|=x>1{,}5>1$, поэтому неравенство $\log_x(15x-18-2x^2)\le2$ равносильно (направление сохраняется) $15x-18-2x^2\le x^2$.
$-3x^2+15x-18\le0$
$x^2-5x+6\ge0$
$(x-2)(x-3)\ge0$
$x\le2$ или $x\ge3$.
Пересекаем с ОДЗ $1{,}5<x<6$.
Ответ: $x\in(1{,}5;2]\cup[3;6)$.