Решите неравенство $\frac{\log_5(5x - 27)}{\log_5(x - 5)} \ge 1$
Самопроверка
Решение
По формуле перехода к новому основанию $\dfrac{\log_5(5x-27)}{\log_5(x-5)}=\log_{x-5}(5x-27)$ — неравенство сводится к логарифму с переменным основанием, поэтому нужна ОДЗ:
$5x-27>0$, $x-5>0$, $x-5\neq1$, то есть $x>5{,}4$, $x\neq6$.
$\log_{x-5}(5x-27)\ge1=\log_{x-5}(x-5)$. Метод рационализации (замена $\log_h f-1\to(h-1)(f-h)$): неравенство равносильно $(x-5-1)\big[(5x-27)-(x-5)\big]\ge0$ на ОДЗ.
$(x-6)(4x-22)\ge0$
$(x-6)(x-5{,}5)\ge0$
$x\le5{,}5$ или $x\ge6$.
Пересекаем с ОДЗ $x>5{,}4$, $x\neq6$: получаем $5{,}4<x\le5{,}5$ или $x>6$.
Ответ: $x\in\left(5{,}4;5{,}5\right]\cup(6;+\infty)$.