Задание 16 №2257 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x>0$, $\log_4x\neq3$ (то есть $x\neq64$). Замена $t=\log_4x$:

$\log_4(64x)=3+t$, $\log_4x^4=4t$, знаменатель справа $t^2-9=(t-3)(t+3)$.

Неравенство $\dfrac{t+3}{t-3}+\dfrac{t-3}{t+3}\ge\dfrac{4t+16}{(t-3)(t+3)}$; слева общий знаменатель $(t-3)(t+3)$:

$\dfrac{(t+3)^2+(t-3)^2}{(t-3)(t+3)}=\dfrac{2t^2+18}{(t-3)(t+3)}$.

$\dfrac{2t^2+18-4t-16}{(t-3)(t+3)}\ge0$

$\dfrac{2(t-1)^2}{(t-3)(t+3)}\ge0$.

Числитель $\ge0$ всегда (ноль при $t=1$); нужно $(t-3)(t+3)>0$ (то есть $t<-3$ или $t>3$), либо $t=1$ (дробь $=0$).

$\log_4x<-3$

$0<x<\dfrac1{64}$

$\log_4x=1$

$x=4$

$\log_4x>3$

$x>64$.

Ответ: $x\in\left(0;\dfrac1{64}\right)\cup\{4\}\cup(64;+\infty)$.