ОДЗ:
$3x+1>0$, $\dfrac1{72x^2}+1>0$ (верно всегда при $x\neq0$),
$\dfrac1{24x}+1>0$
$\dfrac{24x+1}{24x}>0$
$x>0$
или $x<-\dfrac1{24}$. Вместе с $3x+1>0$ (то есть $x>-\frac13$):
$x>0$ или $-\dfrac13<x<-\dfrac1{24}$.
$\log_5(3x+1)+\log_5\left(1+\dfrac1{72x^2}\right)=\log_5\left[(3x+1)\left(1+\dfrac1{72x^2}\right)\right]$. Неравенство (основание $5>1$) равносильно $(3x+1)\left(1+\dfrac1{72x^2}\right)\ge1+\dfrac1{24x}$.
Переносим и приводим к общему знаменателю:
$3x+\dfrac1{72x^2}\ge0$; умножаем на $72x^2>0$:
$216x^3+1\ge0$.
$216x^3+1=(6x+1)(36x^2-6x+1)\ge0$; второй множитель имеет отрицательный дискриминант ($36-144<0$) и всегда положителен, значит знак определяется первым:
$6x+1\ge0$
$x\ge-\dfrac16$.
Пересекаем с ОДЗ: при $x>0$ условие выполнено всегда; при $-\dfrac13<x<-\dfrac1{24}$ остаётся $-\dfrac16\le x<-\dfrac1{24}$.
Ответ: $x\in\left[-\dfrac16;-\dfrac1{24}\right)\cup(0;+\infty)$.