ОДЗ:
$x^2-2>0$, $x>0$, $x-\dfrac{2}{x^2}>0$. Из первых двух:
$x>\sqrt2$. Третье:
$\dfrac{x^3-2}{x^2}>0$
$x^3>2$
$x>\sqrt[3]2$; так как $\sqrt2>\sqrt[3]2$, определяющим является $x>\sqrt2$.
$\log_2(x^2-2)-\log_2x=\log_2\dfrac{x^2-2}{x}$. Неравенство $\log_2\dfrac{x^2-2}{x}\le\log_2\left(x-\dfrac2{x^2}\right)$ (основание $2>1$) равносильно $\dfrac{x^2-2}{x}\le x-\dfrac2{x^2}$.
Умножаем на $x^2>0$:
$x(x^2-2)\le x^3-2$
$x^3-2x\le x^3-2$
$-2x\le-2$
$x\ge1$.
Пересекаем с ОДЗ $x>\sqrt2$ (более сильное условие, так как $\sqrt2>1$).
Ответ: $x\in(\sqrt2;+\infty)$.