ОДЗ:
$4-x>0$ и $16-x^2>0$, то есть $-4<x<4$.
$1+\log_6(4-x)=\log_6 6+\log_6(4-x)=\log_6\big(6(4-x)\big)=\log_6(24-6x)$.
Неравенство $\log_6(24-6x)\le\log_6(16-x^2)$ (основание $6>1$) равносильно
$24-6x\le16-x^2$
$x^2-6x+8\le0$
$(x-2)(x-4)\le0$
$2\le x\le4$.
Пересекаем с ОДЗ $-4<x<4$.
Ответ: $x\in[2;4)$.