Решите неравенство $2\log_2^2(\cos^2 x) + 7\log_2(\cos x) \ge 1$
Решение
ОДЗ:
$\cos x>0$ (тогда и $\cos^2x>0$). При этом условии $\log_2(\cos^2x)=2\log_2(\cos x)$. Замена $t=\log_2(\cos x)$: неравенство $2(2t)^2+7t\ge1$
$8t^2+7t-1\ge0$.
$D=49+32=81$; $t=\dfrac{-7\pm9}{16}$: корни $t=\dfrac18$ и $t=-1$. Значит $t\le-1$ или $t\ge\dfrac18$.
В ОДЗ $t=\log_2(\cos x)\le0$ всегда ($\cos x\le1$), поэтому $t\ge\dfrac18$ невозможно; остаётся $t\le-1$, то есть $\cos x\le\dfrac12$.
С учётом $\cos x>0$:
$0<\cos x\le\dfrac12$
$\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\le x<\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ или $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k<x\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$.
Ответ: $x\in\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3}+2\pi k;\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)$, $k\in\mathbb{Z}$.