Решите неравенство $9^{x^2 - x} - 12 \cdot 3^{x^2} + 3^{2x + 3} \ge 0$
Решение
Пусть $t=3^{x^2}>0$, $u=3^{2x}>0$. Тогда $9^{x^2-x}=3^{2x^2-2x}=\dfrac{3^{2x^2}}{3^{2x}}=\dfrac{t^2}{u}$, а $3^{2x+3}=27u$. Неравенство:
$\dfrac{t^2}{u}-12t+27u\ge0$.
Умножаем на $u>0$:
$t^2-12tu+27u^2\ge0$
$(t-3u)(t-9u)\ge0$.
$t-3u=3^{x^2}-3^{2x+1}\ge0$
$x^2\ge2x+1$
$x^2-2x-1\ge0$
$x\le1-\sqrt2$ или $x\ge1+\sqrt2$.
$t-9u=3^{x^2}-3^{2x+2}\ge0$
$x^2\ge2x+2$
$x^2-2x-2\ge0$
$x\le1-\sqrt3$ или $x\ge1+\sqrt3$.
Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака. Оба $\ge0$: пересечение двух условий даёт $x\le1-\sqrt3$ или $x\ge1+\sqrt3$ (более узкое условие поглощает более широкое). Оба $\le0$: пересечение $1-\sqrt2\le x\le1+\sqrt2$ и $1-\sqrt3\le x\le1+\sqrt3$ даёт $1-\sqrt2\le x\le1+\sqrt2$ (это условие уже, так как $\sqrt2<\sqrt3$).
Ответ: $x\in(-\infty;1-\sqrt3]\cup[1-\sqrt2;1+\sqrt2]\cup[1+\sqrt3;+\infty)$.