Задание 16 №2224 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=3^x>0$:

$27^{x+\frac13}=3t^3$, $9^{x+\frac12}=3t^2$, $3^{x+1}=3t$. Неравенство:

$\dfrac{3t^3-10t^2+10t-5}{3t^2-10t+3}\le t+\dfrac1{t-2}+\dfrac1{3t-1}$.

Замечаем $3t^2-10t+3=(3t-1)(t-3)$. После приведения обеих частей к общему знаменателю $(3t-1)(t-3)(t-2)$ и упрощения числитель разности пропорционален $(t-1)(3t-1)^2$.

$\dfrac{(t-1)(3t-1)^2}{(t-3)(t-2)(3t-1)^2}\le0$

$\dfrac{t-1}{(t-3)(t-2)}\le0$ (при $t\neq\frac13$, где исходное выражение не определено).

  -         -       +       -       +  
 ───────○────────●───────○───────○──────▸
       1/3       1       2       3      

Решение:

$t\in(0;1]\cup(2;3)$, кроме точки $t=\dfrac13$.

$3^x<\dfrac13$

$x<-1$

$\dfrac13<3^x\le1$

$-1<x\le0$

$2<3^x<3$

$\log_32<x<1$.

Ответ: $x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0]\cup(\log_32;1)$.