Задание 16 №2209 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=3^x>0$:

$9^{x+\frac12}=3t^2$, $3^{x+3}=27t$. Числитель средней дроби:

$3t^2-27t+3=3(t^2-9t+1)$. Неравенство:

$\dfrac1{t-1}+\dfrac{3(t^2-9t+1)}{t-9}\ge3t$.

Переносим и приводим к общему знаменателю $(t-1)(t-9)$; после раскрытия скобок числитель равен $4(t-3)$ (проверяется приведением подобных).

$\dfrac{4(t-3)}{(t-1)(t-9)}\ge0$.

  -       +       -       +  
 ──────○───────●───────○──────▸
       1       3       9      

$1<3^x\le3$

$0<x\le1$

$3^x>9$

$x>2$.

Ответ: $x\in(0;1]\cup(2;+\infty)$.