Решите неравенство $3^{x^2} \cdot 5^{x - 1} \ge 3$
Решение
Логарифмируем неравенство иначе — сразу через равносильные преобразования показателей. Перепишем $3$ справа как $3^{x^2}\cdot5^{x-1}\ge3^1\cdot5^0$, то есть сравним степени через логарифм по основанию $3$: неравенство равносильно $x^2\ln3+(x-1)\ln5\ge\ln3$ (оба основания $>1$, направление сохраняется при делении на $\ln3>0$).
$x^2\ln3-\ln3+(x-1)\ln5\ge0$
$\ln3\,(x-1)(x+1)+\ln5\,(x-1)\ge0$
$(x-1)\big[(x+1)\ln3+\ln5\big]\ge0$.
$(x+1)\ln3+\ln5=\ln3\left(x+1+\log_35\right)=\ln3\left(x+\log_315\right)$ (так как $1+\log_35=\log_33+\log_35=\log_315$).
Неравенство $(x-1)(x+\log_315)\ge0$ (знак $\ln3>0$ не влияет) — произведение неотрицательно вне корней $x=1$ и $x=-\log_315$.
Ответ: $x\in(-\infty;-\log_315]\cup[1;+\infty)$.