Замена $t=3^{x+\frac19}>0$:
$9^{x+\frac19}=t^2$, а $3^{x+\frac{10}{9}}=3^{x+\frac19+1}=3t$. Неравенство:
$t^2-12t+27\ge0$.
$(t-3)(t-9)\ge0$
$t\le3$ или $t\ge9$ (с учётом $t>0$: $0<t\le3$ или $t\ge9$).
$3^{x+\frac19}\le3$
$x+\dfrac19\le1$
$x\le\dfrac89$
$3^{x+\frac19}\ge9=3^2$
$x+\dfrac19\ge2$
$x\ge\dfrac{17}{9}$.
Ответ: $x\in\left(-\infty;\dfrac89\right]\cup\left[\dfrac{17}{9};+\infty\right)$.