Решите неравенство $\frac{3^x - 1}{3^x - 3} \le 1 + \frac{1}{3^x - 2}$
Самопроверка
Решение
Переносим всё влево, приводим к общему знаменателю $3^x-3$ (заметим $3^x-2$ и $3^x-3$ — разные множители, общий знаменатель $(3^x-3)(3^x-2)$):
$\dfrac{3^x-1}{3^x-3}-1-\dfrac{1}{3^x-2}\le0$.
$\dfrac{3^x-1}{3^x-3}-1=\dfrac{(3^x-1)-(3^x-3)}{3^x-3}=\dfrac{2}{3^x-3}$. Неравенство:
$\dfrac{2}{3^x-3}-\dfrac{1}{3^x-2}\le0$
$\dfrac{2(3^x-2)-(3^x-3)}{(3^x-3)(3^x-2)}\le0$
$\dfrac{3^x-1}{(3^x-3)(3^x-2)}\le0$.
Замена $t=3^x>0$:
$\dfrac{t-1}{(t-3)(t-2)}\le0$. Корень $t=1$ (входит), разрывы $t=2,3$ (не входят).
- + - +
──────●───────○───────○──────▸
1 2 3 Решение:
$t\in(0;1]\cup(2;3)$.
$3^x\le1$
$x\le0$
$2<3^x<3$
$\log_32<x<1$.
Ответ: $x\in(-\infty;0]\cup(\log_32;1)$.