Решите неравенство $\left(\frac{3}{x - 6} + \frac{x - 6}{3}\right)^2 \le \frac{289}{16}$
$\left(\dfrac{3}{x-6}+\dfrac{x-6}{3}\right)^2\le\dfrac{289}{16}$
$\left(\dfrac{3}{x-6}+\dfrac{x-6}{3}\right)^2-\left(\dfrac{17}{4}\right)^2\le0$.
Разность квадратов:
$\left(\dfrac{3}{x-6}+\dfrac{x-6}{3}-\dfrac{17}{4}\right)\left(\dfrac{3}{x-6}+\dfrac{x-6}{3}+\dfrac{17}{4}\right)\le0$.
Приводим каждую скобку к знаменателю $12(x-6)$:
$\dfrac{4(x-6)^2-51(x-6)+36}{12(x-6)}\cdot\dfrac{4(x-6)^2+51(x-6)+36}{12(x-6)}\le0$.
Раскладываем трёхчлены по $t=x-6$:
$4t^2-51t+36=4(t-12)\left(t-\dfrac34\right)$, $4t^2+51t+36=4(t+12)\left(t+\dfrac34\right)$; корни $x=18$, $x=\dfrac{27}{4}$, $x=-6$, $x=\dfrac{21}{4}$.
Знаменатель $144(x-6)^2\ge0$ не влияет на знак (точка $x=6$ не совпадает ни с одним корнем).
+ - + - +
◂───────●──────────●───────────●──────────●───────▸
-6 21/4 27/4 18 Ответ: $x\in\left[-6;\dfrac{21}{4}\right]\cup\left[\dfrac{27}{4};18\right]$.