Решите неравенство $\left(\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2}\right)^2 \le \frac{100}{9}$
$\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{x-4}{2}\right)^2\le\dfrac{100}{9}$
$\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{x-4}{2}\right)^2-\left(\dfrac{10}{3}\right)^2\le0$.
Разность квадратов:
$\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{x-4}{2}-\dfrac{10}{3}\right)\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{x-4}{2}+\dfrac{10}{3}\right)\le0$.
Приводим каждую скобку к знаменателю $6(x-4)$:
$\dfrac{3(x-4)^2-20(x-4)+12}{6(x-4)}\cdot\dfrac{3(x-4)^2+20(x-4)+12}{6(x-4)}\le0$.
Раскладываем трёхчлены по $t=x-4$:
$3t^2-20t+12=3(t-6)\left(t-\dfrac23\right)$, $3t^2+20t+12=3(t+6)\left(t+\dfrac23\right)$; корни $x=10$, $x=\dfrac{14}{3}$, $x=-2$, $x=\dfrac{10}{3}$.
Знаменатель $36(x-4)^2\ge0$ не влияет на знак (точка $x=4$ не совпадает ни с одним корнем).
+ - + - +
◂───────●──────────●───────────●──────────●───────▸
-2 10/3 14/3 10 Ответ: $x\in\left[-2;\dfrac{10}{3}\right]\cup\left[\dfrac{14}{3};10\right]$.