Решите неравенство $\frac{(x^2 + 6x)^2 + 2(x + 3)^2 - 21}{3x - \frac{33}{4} - (x - 2)^2} \ge 0$
Знаменатель — полный квадрат со знаком минус:
$3x-\dfrac{33}{4}-(x-2)^2=-\left(x^2-7x+\dfrac{49}{4}\right)=-\left(x-\dfrac72\right)^2\le0$ (при $x\neq\dfrac72$), поэтому знак дроби противоположен знаку числителя.
Числитель через замену $u=x^2+6x$ (заметим $(x+3)^2=u+9$):
$(x^2+6x)^2+2(x+3)^2-21=u^2+2(u+9)-21=u^2+2u-3=(u+3)(u-1)$.
Неравенство равносильно $(u+3)(u-1)\le0$
$-3\le u\le1$, то есть $-3\le x^2+6x\le1$.
$x^2+6x+3\ge0$
$x\le-3-\sqrt6$ или $x\ge-3+\sqrt6$
$x^2+6x-1\le0$
$-3-\sqrt{10}\le x\le-3+\sqrt{10}$.
Пересечение (точка $x=\dfrac72$ в него не попадает):
$[-3-\sqrt{10};-3-\sqrt6]\cup[-3+\sqrt6;-3+\sqrt{10}]$.
Ответ: $x\in[-3-\sqrt{10};-3-\sqrt6]\cup[-3+\sqrt6;-3+\sqrt{10}]$.