Решите неравенство $\frac{(x^2 + 2x)^2 - 3(x + 1)^2 + 5}{(x + 1)^2 + 3x + \frac{21}{4}} \le 0$
Знаменатель — полный квадрат:
$(x+1)^2+3x+\dfrac{21}{4}=x^2+5x+\dfrac{25}{4}=\left(x+\dfrac52\right)^2\ge0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя (при $x\neq-\dfrac52$).
Числитель через замену $u=x^2+2x$:
$(x^2+2x)^2-3(x+1)^2+5=u^2-3(x^2+2x+1)+5=u^2-3u+2=(u-1)(u-2)$.
$(u-1)(u-2)\le0$
$1\le u\le2$, то есть $1\le x^2+2x\le2$.
$x^2+2x-1\ge0$
$x\le-1-\sqrt2$ или $x\ge-1+\sqrt2$
$x^2+2x-2\le0$
$-1-\sqrt3\le x\le-1+\sqrt3$.
Пересечение:
$[-1-\sqrt3;-1-\sqrt2]\cup[-1+\sqrt2;-1+\sqrt3]$; исключаем точку $x=-\dfrac52$, которая попадает внутрь первого отрезка.
Ответ: $x\in\left[-1-\sqrt3;-\dfrac52\right)\cup\left(-\dfrac52;-1-\sqrt2\right]\cup\left[-1+\sqrt2;-1+\sqrt3\right]$.