Решите неравенство $x^3 + 9x^2 + 6 - \frac{6x^3 + \frac{9}{2}x^2}{x - 3} \le \frac{(3x + 1)^2 - 19}{x - 3}$
Переносим всё влево, приводим к общему знаменателю $x-3$:
$x^3+9x^2+6-\dfrac{6x^3+\frac92x^2}{x-3}-\dfrac{(3x+1)^2-19}{x-3}\le0$
$\dfrac{x^2(2x^2-81)}{x-3}\le0$.
Нули числителя:
$x=0$ (кратность 2), $x=\pm\sqrt{40{,}5}=\pm\dfrac{9\sqrt2}{2}$ (все входят). Точка разрыва:
$x=3$ (не входит).
Через $x=0$ знак не меняется (чётная кратность корня).
- + + - +
◂─────────●──────────●───────○─────────●────────▸
-9√2/2 0 3 9√2/2 Ответ: $x\in\left(-\infty;-\dfrac{9\sqrt2}{2}\right]\cup\{0\}\cup\left(3;\dfrac{9\sqrt2}{2}\right]$.