Решите неравенство $x^3 + 9x^2 + 8 - \frac{8x^3 - 73x^2}{2(x - 5)} \le \frac{(4x + 1)^2 - 41}{x - 5}$
Переносим всё влево, приводим к общему знаменателю $2(x-5)$:
$x^3+9x^2+8-\dfrac{8x^3-73x^2}{2(x-5)}-\dfrac{(4x+1)^2-41}{x-5}\le0$
$\dfrac{x^2(2x^2-49)}{2(x-5)}\le0$.
Знак дроби не зависит от положительного множителя $2$:
$\dfrac{x^2(2x^2-49)}{x-5}\le0$.
Нули числителя:
$x=0$ (кратность 2), $x=\pm\sqrt{24{,}5}=\pm\dfrac{7\sqrt2}{2}$ (все входят). Точка разрыва:
$x=5$ (не входит).
При переходе через $x=0$ знак не меняется (чётная кратность корня).
- + + - +
◂─────────●──────────●─────────●─────────○──────▸
-7√2/2 0 7√2/2 5 Ответ: $x\in\left(-\infty;-\dfrac{7\sqrt2}{2}\right]\cup\{0\}\cup\left[\dfrac{7\sqrt2}{2};5\right)$.