Решите неравенство $\frac{(5x - 2)^2}{x - 3} \ge \frac{4 - 20x + 25x^2}{24 - 11x + x^2}$
Знаменатель справа раскладывается:
$24-11x+x^2=(x-3)(x-8)$. Переносим влево:
$\dfrac{(5x-2)^2}{x-3}-\dfrac{(5x-2)^2}{(x-3)(x-8)}\ge0$
$\dfrac{(5x-2)^2\big[(x-8)-1\big]}{(x-3)(x-8)}\ge0$.
$\dfrac{(5x-2)^2(x-9)}{(x-3)(x-8)}\ge0$.
Множитель $(5x-2)^2\ge0$ не меняет знак, кроме точки $x=\dfrac25$, где выражение равно $0$ (входит). Точки разрыва:
$x=3$, $x=8$ (не входят). Нуль $x=9$ (входит).
Точка $x=\dfrac25$ отмечена отдельно — там квадрат обнуляется, не меняя знака вокруг.
- - + - +
◂───────●────────○───────○───────●──────▸
2/5 3 8 9 Ответ: $x\in\left\{\dfrac25\right\}\cup(3;8)\cup[9;+\infty)$.