Решите неравенство $\frac{(4x + 7)^2}{x - 3} \ge \frac{49 + 56x + 16x^2}{21 - 10x + x^2}$
Знаменатель справа раскладывается:
$21-10x+x^2=(x-3)(x-7)$. Переносим влево и приводим к общему знаменателю:
$\dfrac{(4x+7)^2}{x-3}-\dfrac{(4x+7)^2}{(x-3)(x-7)}\ge0$.
$\dfrac{(4x+7)^2\big[(x-7)-1\big]}{(x-3)(x-7)}\ge0$
$\dfrac{(4x+7)^2(x-8)}{(x-3)(x-7)}\ge0$.
Множитель $(4x+7)^2\ge0$ не меняет знак дроби, кроме точки $x=-\dfrac74$, где выражение равно $0$ (входит). Точки разрыва:
$x=3$, $x=7$ (не входят). Нуль $x=8$ (входит).
Точка $x=-\dfrac74$ отмечена отдельно — там квадрат $(4x+7)^2$ обнуляется, не меняя знака вокруг.
- - + - +
◂────────●─────────○───────○───────●──────▸
-7/4 3 7 8 Ответ: $x\in\left\{-\dfrac74\right\}\cup(3;7)\cup[8;+\infty)$.