Решите неравенство $\frac{x^3 - 7x^2 + 4x + 12}{x^2 - 7x + 12} \ge x + 1$
$\dfrac{x^3-7x^2+4x+12}{x^2-7x+12}\ge x+1$
$\dfrac{x^3-7x^2+4x+12}{(x-3)(x-4)}-(x+1)\ge0$.
Приводим к общему знаменателю и упрощаем числитель:
$\dfrac{-x^2-x}{(x-3)(x-4)}\ge0$
$\dfrac{x(x+1)}{(x-3)(x-4)}\le0$.
Нули числителя:
$x=-1$, $x=0$ (входят). Точки разрыва:
$x=3$, $x=4$ (не входят).
+ - + - +
◂───────●────────●───────○───────○──────▸
-1 0 3 4 Ответ: $x\in[-1;0]\cup(3;4)$.