В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ середина ребра $C_1D_1$, а точка $K$ делит ребро $AA_1$ в отношении $AK:KA_1 = 1:3$. Через точки $K$ и $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD$ и пересекающая диагональ $A_1C$ в точке $O$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит диагональ $A_1C$ в отношении $A_1O:OC = 3:5$.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $(ABC)$, если дополнительно известно, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.
Та же задача с другими данными. Всего 1.
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $F$ середина ребра $AB$, а точка $E$ делит ребро $DD_1$ в отношении $DE:ED_1 = 6:1$. Через точки $F$ и $E$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $AC$ и пересекающая диагональ $B_1D$ в точке $O$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит диагональ $DB_1$ в отношении $DO:OB_1 = 2:3$.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $(ABC)$, если дополнительно известно, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.