Пусть $v$ км/ч — собственная скорость катера, $c$ км/ч — скорость течения весной. «Медленнее в $1\dfrac{2}{3}$ раза» означает, что отношение скорости по течению к скорости против течения равно $1\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$:
$$\frac{v+c}{v-c}=\frac{5}{3}.$$
По свойству пропорции $3(v+c)=5(v-c)$, то есть $3v+3c=5v-5c$, откуда $8c=2v$ и $v=4c$. Летом течение стало $c-1$ км/ч, и отношение скоростей стало $1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$:
$$\frac{v+c-1}{v-c+1}=\frac{3}{2}\;\Rightarrow\;2(v+c-1)=3(v-c+1)\;\Rightarrow\;2v+2c-2=3v-3c+3,$$
откуда $5c-5=v$. Подставляем $v=4c$: $5c-5=4c$, значит $c=5$. Скорость течения весной 5 км/ч.
Ответ: 5.