Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{12}$.
Решение
а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Проведём высоты ромба $BK_1$ и $L_1D$, а также высоту $N_1M_1$, проходящую через $N$ и $M$. Обозначим пересечения первых двух высот с $AC$ буквами $K$ и $L$.
По теореме о пропорциональных отрезках $BN_1:N_1L_1=BN:ND=1:3$. Из $BN=NO$ и $BK\parallel NM$ следует $KM=MO=\dfrac{AC}{6}$, а значит, $AK=KM$. Поэтому $AK_1=K_1M_1=BN_1$. По симметрии ромба $AK_1=L_1C$, откуда $BN_1=L_1C$ и $BN_1:N_1C=BN_1:(N_1L_1+L_1C)=1:4$.
б) Пусть $NN_1=x$, $MM_1=y$. Тогда $BK=2NM=2\sqrt{12}$, $KK_1=\dfrac{y}{2}$, $DL_1=4x$. Равенство высот $BK_1=N_1M_1=L_1D$ даёт
$$2\sqrt{12}+\dfrac y2=x+\sqrt{12}+y=4x.$$
Отсюда $x=\dfrac{3\sqrt{12}}{5}$, $y=\dfrac{4\sqrt{12}}{5}$, $DL_1=\dfrac{12\sqrt{12}}{5}$. В прямоугольном треугольнике $ABK_1$ имеем $AK_1=\dfrac{AB}{5}$, поэтому
$$BK_1=\sqrt{AB^2-AK_1^2}=\dfrac{2\sqrt6}5AB=\dfrac{12\sqrt{12}}5;\qquad AB=6\sqrt2.$$
Ответ: б) $6\sqrt{2}$