В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен 28, $\angle BAC=120^\circ$.
Решение
а) Четырёхугольник $ANPC$ описан около окружности, поэтому $AN+PC=AC+NP$. Поскольку $NP$ — средняя линия треугольника, $AN=\dfrac{AB}{2}$, $PC=\dfrac{BC}{2}$, $NP=\dfrac{AC}{2}$. Следовательно, $\dfrac{AB+BC}{2}=\dfrac{3AC}{2}$ и $AB+BC+AC=4AC$.
б) По пункту а) $AC=\dfrac{28}{4}=7$. Пусть $AB=x$, тогда $BC=21-x$. По теореме косинусов $x^2+49+7x=(21-x)^2$, откуда $49x=392$ и $x=8$. Поэтому
$$S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC\sin120^\circ=\dfrac12\cdot8\cdot7\cdot\dfrac{\sqrt3}2=14\sqrt3.$$
Ответ: б) $14\sqrt3$