Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.
а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если известно, что $FP=12$ и $PK=5$.
Решение
а) Отрезки касательных $DP$ и $DK$ равны, поэтому треугольник $PDK$ равнобедренный. Диагональ ромба $BD$ — биссектриса угла $ADC$, следовательно, $BD\perp PK$. Угол $FPK$ опирается на диаметр $FK$, поэтому прямой и $FP\perp PK$. Значит, $FP\parallel BD$.
б) По теореме Пифагора $FK=\sqrt{PF^2+PK^2}=13$, поэтому $OK=\dfrac{FK}{2}=6{,}5$. Прямоугольные треугольники $FPK$ и $OKD$ подобны, поскольку $FP\parallel BD$. Отсюда
$$\dfrac{FP}{OK}=\dfrac{FK}{OD};\qquad OD=\dfrac{FK\cdot OK}{FP}=\dfrac{13\cdot6{,}5}{12}=\dfrac{169}{24};\qquad BD=\dfrac{169}{12}.$$
Ответ: б) $\dfrac{169}{12}$