Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $60^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.
а) Докажите, что $AB=DE$.
б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $DEPN$, если $R=7\sqrt{3}$.
Решение
а) Треугольники $AOC$ и $EOD$ равны по двум сторонам и углу между ними: все радиусы равны, а углы $AOC$ и $EOD$ вертикальные. Поэтому $AC=DE$. Касательные $BA$ и $BC$ равны, а $\angle ABC=60^\circ$, значит, $ABC$ — равносторонний треугольник. Следовательно, $AB=AC=DE$.
б) Углы $BAO$ и $BCO$ прямые, поэтому $\angle AOC=120^\circ$. Из треугольника $EOD$ получаем $DE=\sqrt3R$. Из прямоугольного треугольника $BDC$: $BD=\sqrt{DC^2+BC^2}=\sqrt7R$, $\cos\angle BDC=\dfrac2{\sqrt7}$. Аналогично $BE=\sqrt7R$.
Из равенства $BD=BE$ и свойства секущих следует $BN=BP$. Треугольники $BNP$ и $BDE$ подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $DEPN$ — равнобедренная трапеция. Косинус угла при основании $DE$ равен
$$\cos\angle NDE=\cos\angle BDE=\dfrac{BD^2+DE^2-BE^2}{2BD\cdot DE}=\dfrac{DE}{2BD}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}.$$
Из равнобедренного треугольника $NDO$ получаем $ND=2DO\cos\angle BDC=\dfrac4{\sqrt7}R$. Высота трапеции:
$$h=\sqrt{ND^2-(ND\cos\angle NDE)^2}=\sqrt{\dfrac{16}7R^2\cdot\dfrac{25}{28}}=\dfrac{10}7R.$$
Её второе основание $PN=DE-2ND\cos\angle BDE=\sqrt3R-\dfrac{4\sqrt3}7R=\dfrac{3\sqrt3}7R$. Поэтому
$$S_{DEPN}=\dfrac57R\left(\sqrt3R+\dfrac{3\sqrt3}7R\right)=\dfrac{50\sqrt3}{49}R^2=150\sqrt3.$$
Ответ: б) $150\sqrt{3}$