На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.
В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой
$$l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}.$$
Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=60$ м, $u=1{,}3$ м/с, $v=1{,}2$ м/с.
Решение
Исследуем $f(\alpha)=\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$ при $0<\alpha<\pi$. Производная:
$$f'(\alpha)=\dfrac{-v^2\sin^2\alpha-v\cos\alpha(u+v\cos\alpha)}{v^2\sin^2\alpha}=-\dfrac{v+u\cos\alpha}{v\sin^2\alpha}.$$
Она обращается в нуль при $\cos\alpha=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{12}{13}$. Слева от $\alpha_0=\arccos(-\dfrac{12}{13})$ производная отрицательна, справа положительна. Значит, в этой точке минимум. При $\cos\alpha_0=-\dfrac{12}{13}$ имеем $\sin\alpha_0=\dfrac{5}{13}$, поэтому
$$l_{\min}=60\cdot\dfrac{1{,}3+1{,}2(-\dfrac{12}{13})}{1{,}2\cdot\dfrac{5}{13}}=60\cdot\dfrac{2{,}5}{6}=25\ \text{м}.$$
Ответ: 25 м
