а) Решите уравнение $\sin x\cdot\cos 2x-\sqrt{3}\cos^2x+\sin x=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.
Решение
а) Используя $\cos2x=2\cos^2x-1$, получаем
$$\sin x(2\cos^2x-1)-\sqrt3\cos^2x+\sin x=0;\qquad \cos^2x(2\sin x-\sqrt3)=0.$$
Отсюда $\cos x=0$ или $\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$, поэтому $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ или $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m$, где $k,n,m\in\mathbb Z$.
б) На отрезке $[\dfrac{5\pi}{2};4\pi]$ получаем $\dfrac{5\pi}{2}$, $\dfrac{8\pi}{3}$, $\dfrac{7\pi}{2}$.
Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; $\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$; $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{5\pi}{2}$; $\dfrac{8\pi}{3}$; $\dfrac{7\pi}{2}$