а) Решите уравнение $\dfrac{4\sin^3x-2\sin x}{\sin(2x-\pi)}=1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Решение
а) Используем $\sin(2x-\pi)=-\sin2x$ и перенесём единицу в левую часть:
$$\dfrac{2\sin x-4\sin^3x-\sin2x}{\sin2x}=0;\qquad\dfrac{\sin x(1-2\sin^2x-\cos x)}{\sin x\cos x}=0;$$
$$\dfrac{\sin x(2\cos^2x-\cos x-1)}{\sin x\cos x}=0;\qquad\dfrac{\sin x(\cos x-1)(2\cos x+1)}{\sin x\cos x}=0.$$
При условии $\sin x\cos x\ne0$ варианты $\sin x=0$ и $\cos x=1$ исключаются. Остаётся $\cos x=-\dfrac{1}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{2\pi}3+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.
б) На отрезке $[-3\pi;-\dfrac{\pi}{2}]$ получаем $x_1=-3\pi+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{8\pi}{3}$, $x_2=-3\pi+\pi+\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{4\pi}{3}$, $x_3=x_1+2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}$.
Ответ: а) $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{8\pi}{3},\ -\dfrac{4\pi}{3},\ -\dfrac{2\pi}{3}$