а) Решите уравнение $3^{\sin^23x}+3^{2+\sin^23x}=5^{\sin^23x}+5^{1+\sin^23x}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi;\,4\pi]$.
Решение
а) Преобразуем уравнение:
$$3^{\sin^2 3x}+9\cdot3^{\sin^2 3x}=5^{\sin^2 3x}+5\cdot5^{\sin^2 3x};\qquad 10\cdot3^{\sin^2 3x}=6\cdot5^{\sin^2 3x};\qquad \left(\dfrac35\right)^{\sin^2 3x}=\dfrac35.$$
Следовательно, $\sin^2 3x=1$, то есть $\sin3x=1$ или $\sin3x=-1$. Получаем $x=\dfrac\pi6+\dfrac{2\pi}3n$, $n\in\mathbb Z$, или $x=-\dfrac\pi6+\dfrac{2\pi}3m$, $m\in\mathbb Z$.
б) На отрезке $[3\pi;4\pi]$ получаем $x_1=4\pi-\dfrac\pi6-\dfrac{2\pi}3=\dfrac{19\pi}6$, $x_2=4\pi+\dfrac\pi6-\dfrac{2\pi}3=\dfrac{7\pi}2$, $x_3=4\pi-\dfrac\pi6=\dfrac{23\pi}6$.
Замечание. Отбор корней можно выполнить с помощью графика или линейных неравенств.
Ответ: а) $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}n,\ n\in\mathbb{Z}$; $-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}m,\ m\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{19\pi}{6},\ \dfrac{7\pi}{2},\ \dfrac{23\pi}{6}$