Цилиндр массой $m=1$ кг и радиусом $R=4$ см, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Ось цилиндра горизонтальна. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра (см. рисунок). Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью $\mu=0{,}5$. При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Описываем цилиндр моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Поскольку тело не движется поступательно, то векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю.
4. Поскольку тело не вращается, то алгебраическая сумма моментов сил относительно оси, проходящей перпендикулярно рисунку через центр, равна нулю.
Решение
1. На цилиндр действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec g$, нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec N$, сила натяжения нити $\vec T$ и сила трения $\vec F_{\text{тр}}$. Запишем условия равновесия цилиндра. Второй закон Ньютона в проекциях на оси инерциальной системы отсчёта $Oxy$ имеет вид:
$$Ox:\ 0 = mg\sin\alpha - T - F_{\text{тр}};\quad(1)$$
$$Oy:\ 0 = N - mg\cos\alpha.\quad(2)$$
2. Запишем уравнение моментов сил относительно оси, проходящей через точку $O_1$ перпендикулярно плоскости рисунка. $O_1$ — центр цилиндра (плечи сил реакции опоры и тяжести равны нулю, а сил трения и натяжения нити — радиусу цилиндра $R$):
$$T \cdot R - F_{\text{тр}} \cdot R = 0,\text{ откуда } T = F_{\text{тр}}.\quad(3)$$
3. Поскольку в задаче спрашивают величину максимального угла наклона плоскости, рассмотрим максимальное значение модуля силы трения покоя, равное модулю силы сухого трения скольжения. Для модуля силы сухого трения скольжения запишем:
$$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos\alpha.\quad(4)$$
4. Из формул (1)–(4) получаем: $mg\sin\alpha = 2F_{\text{тр}} = 2\mu mg\cos\alpha$.
Окончательно получим: $\operatorname{tg}\alpha = 2\mu = 2 \cdot 0{,}5 = 1$, следовательно, $\alpha_{\max} = 45^\circ$.
Ответ: $\alpha_{\max} = 45^\circ$.