Однородный тонкий стержень массой $m$ одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha=30^\circ$. Под действием горизонтальной силы $\vec F$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рисунок). Стержень при этом неподвижен. Найдите $m$, если $F=2$ Н, а коэффициент трения стержня по доске $\mu=0{,}2$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень и доску. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Описываем стержень моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Сумма приложенных к стержню внешних сил равна нулю, так как он находится в равновесии относительно поступательного движения. Сумма моментов этих сил относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку шарнирного крепления (точку $O$), равна нулю, так как стержень не вращается.
4. Доска движется поступательно. Движение доски в ИСО можно описать с помощью законов Ньютона, сформулированных для материальных точек.
5. Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми доска и стержень взаимодействуют друг с другом, равны по модулю и направлены в противоположные стороны: на рисунках $а$ и $б$ в решении $\vec N = -\vec P$, $\vec F_{\text{тр1}} = -\vec F_{\text{тр2}}$.
Решение
1. В инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, доска по условию движется поступательно с постоянной скоростью. Поэтому, в частности, сумма горизонтальных сил $\vec F$ и $\vec F_{\text{тр1}}$, приложенных к доске, равна нулю (рисунок $а$). Отсюда получаем: $F = F_{\text{тр1}}$.
2. На рисунке $б$ показаны силы, приложенные к стержню. По третьему закону Ньютона $\vec F_{\text{тр1}} = -\vec F_{\text{тр2}}$. Поэтому:
$$F_{\text{тр2}} = F_{\text{тр1}} = F.\quad(1)$$
3. По условию задачи стержень не вращается, поэтому выполнено условие равновесия стержня на оси шарнира $O$ (правило моментов). Обозначив длину стержня $L$, запишем это условие:
$$mg\dfrac{L}{2}\cos\alpha - F_{\text{тр2}}L\sin\alpha - NL\cos\alpha = 0.\quad(2)$$
4. Доска движется относительно стержня, поэтому:
$$F_{\text{тр2}} = \mu N.\quad(3)$$
5. Подставив (1) в (3), а (3) в (2), получим уравнение:
$$mg\cos\alpha - 2F\sin\alpha - 2\dfrac{F}{\mu}\cos\alpha = 0$$
с решением: $m = \dfrac{2F}{g}\left(\dfrac{1}{\mu} + \mathrm{tg}\,\alpha\right) = \dfrac{2 \cdot 2}{10}\left(\dfrac{1}{0{,}2} + \dfrac{\sqrt3}{3}\right) = 2\left(1 + \dfrac{\sqrt3}{15}\right) \approx 2{,}2$ кг.
Ответ: $m \approx 2{,}2$ кг.