На гладком горизонтальном столе лежит доска массой $M=1$ кг и длиной $L=50$ см. На левом краю доски находится маленький брусок массой $m=200$ г. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый гладкий блок, закреплённый на стене (отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны и параллельны). Коэффициент трения между бруском и доской $\mu=0{,}2$. Брусок начинают тянуть вправо с постоянной силой $\vec F$, параллельной горизонтальным отрезкам нити. Модуль этой силы $F=1{,}2$ Н. Через какое время $t$ после начала движения брусок соскользнёт с доски? Размерами бруска пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на доску и брусок.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с поверхностью стола.
2. Будем использовать второй закон Ньютона для материальных точек, так как брусок и доска движутся поступательно. Трением о воздух пренебрежём. Силы, действующие на тела, постоянны, движение бруска и доски равноускоренное.
3. Так как нить нерастяжима, ускорения бруска и доски направлены горизонтально, равны по модулю и противоположны по направлению:
$$|\vec a_1|=|\vec a_2|=a,\ \vec a_1=-\vec a_2.\quad(1)$$
4. Так как блок и нити невесомы, трения в блоке нет, то силы натяжения нити, действующие на доску и брусок, одинаковы:
$$\vec T_1=\vec T_2=\vec T.\quad(2)$$
5. Силы трения, действующие на брусок и доску, равны друг другу по модулю и противоположны по направлению согласно третьему закону Ньютона:
$$F_{\text{тр}1}=F_{\text{тр}2}=F_\text{тр},\ \vec F_{\text{тр}1}=-\vec F_{\text{тр}2}.\quad(3)$$
Решение
1. На рисунке показаны силы, действующие на брусок, и силы, действующие на доску.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ выбранной системы координат. С учётом (1)–(3) получим:
$$ma=F-F_\text{тр}-T,$$
$$-Ma=F_\text{тр}-T,$$
$$N=mg.$$
Вычтя второе уравнение из первого, найдём модуль ускорения каждого тела:
$$a=\dfrac{F-2F_\text{тр}}{M+m},$$
Учитывая, что $F_\text{тр}=\mu N$, получим: $a=\dfrac{F-2\mu mg}{M+m}$.
2. Брусок соскользнёт с доски, когда доедет до её правого края, то есть когда сумма расстояний, пройденных доской и бруском относительно стола, будет равна $L$:
$$\dfrac{at^2}{2}+\dfrac{at^2}{2}=L.$$
3. Окончательно получим:
$$t=\sqrt{\dfrac{L}{a}}=\sqrt{\dfrac{L(M+m)}{F-2\mu mg}}=\sqrt{\dfrac{0{,}5\cdot(1+0{,}2)}{1{,}2-2\cdot0{,}2\cdot0{,}2\cdot10}}\approx1{,}2\ \text{с}.$$
Ответ: $t\approx1{,}2$ с.