Пластилиновый шарик в момент $t=0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Время от столкновения шариков до их падения на Землю равно $\tau$. С какой начальной скоростью $v_0$ был брошен первый шарик? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй. За начало отсчёта координат примем первоначальное положение первого шарика.
2. Шарики будем считать материальными точками.
3. Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, то движение шариков можно считать свободным падением.
4. Считаем время взаимодействия шариков при неупругом столкновении малым. Следовательно, импульсом внешней силы (силы тяжести) за это время можно пренебречь. Значит, импульс системы двух шариков при столкновении сохраняется.
Решение
1. Первый шарик начинает движение из начала координат, а второй — из точки $A$. До и после столкновения (происходящего в точке $B$) шарики свободно падают. Поэтому до столкновения для первого шарика
$$y_1(t)=v_{0y}t-\dfrac{gt^2}{2}=v_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac{gt^2}{2},$$
$$v_{1y}(t)=v_0\sin\alpha-gt,$$
а для второго шарика
$$v_{2y}(t)=-gt.$$
2. Шарики сталкиваются в момент $t_1$, при этом импульс системы двух шариков сохраняется: $m\vec v_1+m\vec v_2=2m\vec u_0$, а скорость $\vec u_0$ шариков после удара согласно условию горизонтальна. Поэтому $v_{1y}(t_1)+v_{2y}(t_1)=0$, или $(v_0\sin\alpha-gt_1)+(-gt_1)=0$, откуда $t_1=\dfrac{v_0\sin\alpha}{2g}$.
3. Столкновение шариков происходит на высоте
$$h=y_1(t_1)=v_0\sin\alpha\cdot t_1-\dfrac{gt_1^2}{2}=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\dfrac38\cdot\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}.$$
4. Поскольку скорость $\vec u_0$ шариков после удара горизонтальна, интервал времени $\tau$ от столкновения шариков до их падения на Землю находится из условия $h=\dfrac{g\tau^2}{2}$, откуда $\tau=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt3\cdot\dfrac{v_0\sin\alpha}{2g}$. Отсюда: $v_0=\dfrac{2g\tau}{\sqrt3\cdot\sin\alpha}$.
Ответ: $v_0=\dfrac{2g\tau}{\sqrt3\cdot\sin\alpha}$.